aprovechando que tengo un tiempo deseo comprobar la integración de Latex al blog y aprovechare de hacerlo con una inducción que tiene otra inducción.
Ejercicio
Comprobar por inducción que:
\(5^{m+1}+2\cdot3^m+1=8k \)
Verificar si se cumple para el primer valor, es decir \(m=0\):
\(5+2+1=8\) por lo tanto \(k=0\), se cumple....
Por lo tanto si \(m=n\) se cumple que:
\(5^{n+1}+2\cdot3^n+1=8k\) Hipotesis de Induccion ..
Si \(m=n+1\) por demostrar que:
\(5^{n+2}+2\cdot3^{n+1}+1=8k\) Tesis de Induccion....
Desarrollo
\(
5^{n+2}+2\cdot3^{n+1}+1=8k\\
5\cdot5^{n+1}+6\cdot3^n+1=8k\\
5^{n+1}+4\cdot5^{n+1}+6\cdot3^n+1=8k\\
5^{n+1}+4\cdot5^{n+1}+2\cdot3^n+4\cdot3^n+1=8k\\
\)
Ahora lo ordenamos para que aparesca la hipotesis de induccion:
\(\left(5^{n+1}+2\cdot3^n+1\right)+4\cdot5^{n+1}+4\cdot3^n=8k\)
Lo que esta entre el parentesis es la hipotesis asi que podemos decir que todo eso es multiplo de 8:
\(
8\hat{k}+4\cdot5^{n+1}+4\cdot3^n=8k\\
8\hat{k}+4\left(5^{n+1}+3^n\right)=8k
\)
si observamos bastaria con demostrar que \(5^{n+1}+3^n\) es multiplo de 2 para demostrar el problema anterior, entonces es posible hacer otra induccion:
Demostar por induccion que \(5^{m+1}+3^m=2\dot{k}\)
Verificamos si funciona para el primer valor \(m=0\):
\(5+1=2\dot{k}\) lo que implica que \(\dot{k}=3\), se cumple...
Por lo tanto si \(m=n\) se cumple que:
\(5^{n+1}+3^n=2\dot{k}\) Hipotesis de Induccion
Si \(m=n+1\) por demostrar que:
\(5^{n+2}+3^{n+1}=2\dot{k}\) Tesis de Induccion...
Segundo Desarrollo:
\(
5^{n+2}+3^{n+1}=2\dot{k}\\
5\cdot5^{n+1}+3\cdot3^n=2\dot{k}\\
5^{n+1}+3^n+4\cdot5^{n+1}+2\cdot3^n=2\dot{k}\\
2\ddot{k}+4\cdot5^{n+1}+2\cdot3^n=2\dot{k}\\
2\ddot{k}+2\left(5^{n+1}+3^n\right)+2\cdot5^{n+1}=2\dot{k}\\
2\ddot{k}+2\ddot{k}+2\cdot5^{n+1}=2\dot{k}\\
2\left(\ddot{k}+\ddot{k}+5^{n+1}\right)=2\dot{k}
\)
Aqui podemos decir que \(5^{n+1}\) es una constante cuyo valor no conocemos asi que lo podemos nombrar como \(5^{n+1}=\bar{k}\) si reemplazamos queda lo siguiente:
\(2\left(\ddot{k}+\ddot{k}+\bar{k}\right)=2\dot{k}\)
Todas son constantes por lo que \(\ddot{k}+\ddot{k}+\bar{k}=\dot{k}\) por lo que \(5^{m+1}+3^m=2\dot{k}\) queda demostrado por inducción, ahora volvamos al problema original.
\(8\hat{k}+4\left(5^{n+1}+3^n\right)=8k\)
Usando la induccion anterior reemplazamos:
\(8\hat{k}+4\cdot2\dot{k}=8k\\
8\left(\hat{k}+\dot{k}\right)=8k
\)
Se puede decir que estamos sumando valores de k constantes, es decir \(\hat{k}+\dot{k}=k\) por lo tanto queda demostrado.....
Nota: recordar que para que esto se cumpla los valores de k deben pertenecer a los enteros o \(\mathbb{Z}\), en otras palabra k no pueden ser fracciones o racionales sino no es multiplo recuerden eso
No comments:
Post a Comment